题目

  • 找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。
  • 说明：
    • 所有数字都是正整数。
    • 解集不能包含重复的组合。
  • 示例1：

输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]

  • 示例2：

输入: k = 3, n = 9
输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

解题思路

  1. 在方法的开始，首先先确定所给定的k和n是否能够有解

    • 给定k个数，那么这k个数的最小值为1 + 2 + … + k = (1 + k) * k / 2 //首项为1，公差为1的等差数列；
    • k个数的最大值为(n - k + 1) + (n - k + 2) + … + n = (19 - k) * k / 2 //末项为9，公差为1的等差数列；
    • 由此可得，只有当n >= (1 + k) * k / 2 并且 n <= (19 - k) * k / 2时才会有解，如果k和n不满足条件，则直接返回空列表。

  2. 核心思想

    • 现在需要用k个数之和表示n：
      • 当k = 1时，target = n，list中直接放入n；
      • 当k = 2时，假定先在list中放入一个数i(1<=i<=9)，那么还需要放入n - i，相当于调用k = 1情况，此时target = n - i；
      • 当k = 3时，假定先在list中放入一个数i(1<=i<=9)，那么还需要放入n - i，相当于调用k = 2情况，此时target = n - i；
      • ·······
      • 由此，我们可以发现一个规律：当我们在计算某一个k值的情况时，可以先放入一个元素i，然后递归调用target = n = i的k - 1情况，以此类推，递归终止条件即为k = 1的情况，此时如果target <= 9，那么放入target后即为我们想要的解。
      • 总公式：第k个list[target = n] = [i].append(第k - 1个list[target = n - i])

  3. 开始计算

    • 方法中维护了四个变量：rest（剩余数字个数），target（当前和还缺多少），sum（题目需要求的总和，也可使用全局变量记录，currentSum（当前列表中已有元素的和，也可使用sum - target计算）
    • 首先，当剩余个数为1，但target仍大于9(rest == 1 && target > 9)，即还剩一个元素的位置，但却需要一个大于9的数来满足题意，无法达到目标，因此直接return，放弃此情况。
    • 其次，如果剩余个数为1，并且加上当前target后能够达到sum值，那么此时的target就是我们需要的最后一个元素，将其加入答案res，加入之后移除末尾元素，以便进行后续运算。
    • 剩余部分请看代码中的注释。

代码

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class Solution {

    // res存放最终答案
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();

    // temp存放每一个解情况
    List<Integer> temp = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
        // 判断此时是否有解
        if (n >= (1 + k) * k / 2 && n <= (19 - k) * k / 2) {
            calculate(k, n, n, 0);
        }
        return res;
    }

    public void calculate(int rest, int target, int sum, int currentSum) {

        // 如果此时只剩一个数字，而缺少的和大于9，已无法实现，直接return舍弃
        if (rest == 1 && target > 9) {
            return;
        }

        // 如果剩余一个元素，且加上target后当前和currentSum等于要求的sum，则输出
        // 第二个条件是为了保证最后一个元素大于倒数第二元素
        // （排除诸如[1， 4， 9， 9]，[1, 3, 7, 7]的有重复数字的情况）
        else if (rest == 1 && temp.get(temp.size() - 1) < target && currentSum + target == sum) {
            temp.add(target);
            res.add(List.copyOf(temp));
            // 移除情况，为后续递归做准备
            temp.remove(temp.size() - 1);
        }

        // 此时的情况为：剩余元素大于1，或者currentSum + target != sum
        else {
            // 如果是由于后者情况，那么此时为一个错误解，return舍弃
            if (rest == 1) {
                return;
            } else {
                // 如果是前者情况，那么此时仍可放入至少两个元素，从当前temp的末尾元素加1开始遍历
                // 如果当前temp为空，则从0开始遍历，依次尝试放入
                for (int i = (temp.size() == 0 ? 1 : temp.get(temp.size() - 1) + 1); i <= target && i <= 9; i++) {
                    temp.add(i);
                    // 放入i后，剩余可放入元素rest减1，新的target变成target - i，当前和currentSum + i
                    calculate(rest - 1, target - i, sum, currentSum + i);
                    // 回到此处继续执行，说明最后一个元素的加入后的情况已全部遍历，将此元素移除
                    temp.remove(temp.size() - 1);
                }
            }
        }
    }
}